И океанографии», г. Калининград, e-mail: *****@***ru)

ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА СКОРОСТИ ОСАЖДЕНИЯ ВЗВЕШЕННЫХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА ФЛОККУЛЯЦИИ И ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА

Podgornyj K. A.

(Atlantic Research Institute of Marine Fisheries and Oceanography (AtlantNIRO), Kaliningrad)

THE EMPIRICAL FORMULAS FOR CALCULATING THE SEDIMENTATION RATE OF SUSPENDED PARTICLES WITH TAKING INTO ACCOUNT THE INFLUENCE OF FLOCCULATION AND TURBULENT EXCHANGE

Ключевые слова: взвешенное вещество, флоккуляция, турбулентный обмен, скорость осаждения

При выполнении расчетов скорости осаждения взвесей и оценке роли взвешенных веществ в биогидрохимических процессах, которые протекают в водных экосистемах, в ряде случаев важно учитывать эффект флоккуляции. В природных водах выделяют две основные группы флоккул в соответствии с их характерными размерами: микро - и макрофлоккулы. Микрофлоккулы имеют размеры до 125 мкм, а макрофлоккулы представляют собой более крупные агрегированные образования с максимальными размерами флоккул до 3–4 мм. Микрофлоккулы обычно состоят из минеральных частиц, а также органических веществ разной природы и химического состава. Макрофлоккулы формируются путем агрегирования микрофлоккул в водной среде. Увеличение или размеров частиц или плотности частиц приводит к росту скорости их осаждения. Процесс флоккуляции – сложный физико-химический процесс, который зависит от множества факторов . Для природных вод первостепенное значение имеет воздействие турбулентного обмена, который в определенном диапазоне его интенсивности приводит к возрастанию частоты столкновений частиц, вследствие чего возрастает и скорость формирования флоккул. Однако при значительной интенсивности турбулентности нередко наблюдается обратный процесс – разрушение флоккул.

Введем в рассмотрение параметр диссипации энергии турбулентности https://pandia.ru/text/80/326/images/image002_58.gif" width="123 height=25" height="25">где – коэффициент кинематической вязкости воды в зависимости от ее температуры https://pandia.ru/text/80/326/images/image005_34.gif" width="20" height="20">.gif" width="11" height="13 src="> – средняя скорость диссипации турбулентной кинетической энергии на единицу массы. Для расчета применяется следующая формула: в которой https://pandia.ru/text/80/326/images/image010_19.gif" width="19" height="20 src="> – постоянная Кáрмана; – расстояние от дна.

В работе была получена эмпирическая формула, которая позволяет учесть зависимость скорости оседания взвешенных частиц от параметра диссипации энергии турбулентности https://pandia.ru/text/80/326/images/image012_18.gif" width="184" height="37"> (1)

где – фактическая скорость оседания частиц каждой из размерных фракций взвешенного вещества (ВВ) при наличии турбулентности; скорость оседания при значении ; , – эмпирические константы..gif" width="225" height="48"> (2)

где – ускорение свободного падения; – плотность частиц взвеси для https://pandia.ru/text/80/326/images/image022_15.gif" width="20" height="20"> – плотность воды; – коэффициент сопротивления для частиц сферической формы каждой из размерных фракций ВВ, зависящий от числа Рейнольдса ; – характерный диаметр частиц для https://pandia.ru/text/80/326/images/image026_10.gif" width="83" height="24"> для частиц сферической формы :

https://pandia.ru/text/80/326/images/image028_11.gif" width="177 height=43" height="43">.

Первая аппроксимация применима для https://pandia.ru/text/80/326/images/image030_9.gif" width="73" height="23">.

В моделях флоккуляции флоккулы обычно рассматриваются как самоподобные фрактальные (т. е. с дробной размерностью) объекты (частицы). Для получения соответствующих расчетных уравнений используется теория фракталов . При этом предполагается, что скорость оседания частиц является функцией характерного размера флоккул (их проективного диаметра) и дифференциала плотности , то есть превышения плотности флоккулы по отношению к плотности воды..gif" width="28" height="23"> вследствие эффекта флоккуляции меняются в пределах от 50 до 300 кг/м3 .

Распределение агрегированных частиц по размерам может быть описано той или иной функцией распределения. Для того чтобы упростить задачу, в данной модели распределение флоккул по всему возможному размерному спектру учитываться не будет. Вместо этого в качестве характерного размера флоккул будет рассматриваться так называемый равновесный размер флоккул . По своей сути близок к понятию – средневзвешенному (медианному) размеру частиц взвеси, который зависит от процентного вклада частиц разного типа и размера. Образование агрегированных частиц с тем или иным характерным размером зависит от текущего баланса многих сил и факторов среды, которые определяют процесс флоккуляции и установление определенного динамического равновесия между процессами образования и разрушения флоккул.

В работе было показано, что можно связать с исходным характерным диаметром https://pandia.ru/text/80/326/images/image037_6.gif" width="19 height=23" height="23"> частиц следующим образом:

https://pandia.ru/text/80/326/images/image039_7.gif" width="20" height="21">.gif" width="19" height="23 src="> флоккул меняется от 1.4 до 2.2 ..gif" width="36" height="23"> оседания флоккул может быть получено из уравнения баланса силы гравитационного осаждения взвеси и силы сопротивления https://pandia.ru/text/80/326/images/image045_6.gif" width="121 height=37" height="37"> где , – эмпирические коэффициенты (их значение зависит от степени сферичности частиц); – коэффициент сопротивления для оседающих флоккул. Для расчета скорости оседания флоккул получаем :

(4)

Для плотных частиц сферической формы https://pandia.ru/text/80/326/images/image041_6.gif" width="40 height=21" height="21">. Если при этом оказывается, что много меньше единицы, то в этом случае формула (4) описывает оседание взвешенных частиц в соответствии с законом Стокса..gif" width="64" height="23">.

Использование формулы (4) осложняется тем, что для выполнения расчетов необходимо знать величину характерного размера флоккул . Таким образом, возникает дополнительная задача: построение модели, которая описывает процесс образования и разрушения флоккул в турбулентном потоке жидкости и позволяет вычислять скорость изменения размера флоккул при разных уровнях интенсивности турбулентного обмена в воде.

В работе показано, что в состоянии, близком к состоянию динамического равновесия, скорость изменения размера флоккул можно рассчитать с помощью следующего дифференциального уравнения первого порядка:

https://pandia.ru/text/80/326/images/image056_6.gif" width="19" height="23 src="> – массовая концентрация агрегированных частиц; и – эмпирические коэффициенты. Из (5) следует, что для малых значений доминирующим будет процесс образования флоккул. Для достаточно больших доминирующим будет обратный процесс – разрушение флоккул. В то же время следует иметь в виду, что направленность того или иного процесса также будет зависеть и от текущего уровня интенсивности процесса турбулентного обмена. Уравнение (5) легко решается аналитически в предположении, что в течение некоторого промежутка времени (обычно это – шаг интегрирования по времени) значение массовой концентрации является постоянной величиной.

Если процессы образования и разрушения флоккул находится в состоянии динамического равновесия, то тогда и можно получить выражение для оценки равновесного размера флоккул :

. (6)

Тогда из (4) с помощью (6) полагая, что средняя фрактальная размерность , можно получить соотношение для расчета равновесной скорости осаждения флоккул:

. (7)

Таким образом, если при моделировании распространения взвесей рассмотрение эффекта флоккуляции не предусматривается, то при расчете скорости осаждения взвесей для каждой размерной фракции ВВ должны использоваться формулы (1), (2). Вопрос о том, включать или не включать в расчеты эффект флоккуляции ВВ, должен решаться отдельно на основе дополнительных полевых и/или лабораторных исследований физико-химических свойств грунта. В частности, с их помощью необходимо определить, какая часть и какие именно фракции исходного состава ВВ потенциально могут быть подвержены процессу флоккуляции. Тогда при моделировании для этой части ВВ расчет скорости осаждения флоккул будет осуществляться по формуле (7), а для каждой из оставшихся размерных фракций – по формулам (1), (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Graf W. H. Hydraulics of sediment transport. New York: McGraw-Hill, 1971. 513 p.

2. Kranenburg C. The fractal structure of cohesive sediment aggregates // Estuarine Coastal Shelf Sci. 1994. Vol. 39. P. 451–460.

3. Raudkivi A. J. Loose boundary hydraulics. Taylor & Francis, London, 1998. 538 p.

4. Van Leussen W. Estuarine macroflocs and their role in fine-grained sediment transport. PhD Thesis, University of Utrecht. 1994. 488 p.

5. Winterwerp J. C. A simple model for turbulence induced flocculation of cohesive sediment // J. Hydraul. Res. 1998. Vol. 36. P. 309–326.

6. Winterwerp J. C. On the flocculation and settling velocity of estuarine mud // Cont. Shelf Res. 2002. Vol. 22. P. 1339–1360.

For calculations of the sedimentation rate of suspended particles and assessing their role in biogidrochemiacal processes that occur in aquatic ecosystems in some cases it is important to take into account the effect of flocculation and intensity of turbulent exchange. The empirical formulas were obtained. They can be used to develop mathematical models of the spatial distribution of suspended matter.

Вертикальная струя. Для расчета вертикальной струи обычно пользуются эмпирическими формулами Люгера и Фримана, полученными в конце XIX в. при изучении фонтанных и пожарных струй.

Рассмотрим струю жидкости, которая вылетает вертикально вверх из насадка с напором и поднимается на высоту (рис. 6.5). Потерю высоты, вызванную сопротивлением воздуха, обозначим через , а величину компактной части струи .

Рис. 6.5. Вертикальная струя

Высота вертикальной сплошной струи определится по формуле, предложенной Люгером, которая аналогична теоретической формуле (6.7):

Коэффициент j может быть определен по эмпирической формуле

, (6.11)

где d - диаметр выходного сечения насадка, мм.

Значение коэффициента j для различных диаметров насадков приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

d , мм	j	d , мм	j
	0,0228		0,0039
	0,0165		0,0028
	0,0124		0,0018
	0,0097		0,0014
	0,0077		0,00074
	0,0061		0,00049
	0,0050		0,00032

Фриман для расчета высоты вертикальных струй при напорах от 7 до
70 м предложил формулу

. (6.12)

Для практических расчетов формулы Люгера и Фримана можно считать равноценными.

Анализируя формулы (6.10) и (6.12), можно установить, что увеличение длины вертикальной струи связано с увеличением диаметра насадка и напора. Однако высота струи для каждого отдельного насадка не растет неограниченно, а достигает своей максимальной величины, после чего высота ее не изменяется, как бы сильно не увеличивался напор.

Из формулы Люгера найдем, что предельная величина S в, которая получится при неограниченном увеличении H , будет равна:

.

Так как величина j зависит только от диаметра (6.11), то отсюда следует, что при больших напорах увеличение высоты струи возможно только при увеличении диаметра насадка. Применение в пожарном деле лафетных стволов с насадками большого диаметра объясняется не только необходимостью большей подачи воды, но и возможностью подачи воды при обычных напорах на большое расстояние.

Исследуем теперь формулу Фримана. Приравнивая первую производную к нулю, получаем то значение H , при котором наблюдается максимальная высота струи:

Величины напоров, с достижением которых для определенного диаметра насадков струя не увеличивается, приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

d , мм	H , м	d , мм	H , м	d , мм	H , м

Решая уравнение (6.10) относительно H , получаем формулу для определения напора в зависимости от требуемой высоты струи:

Величину компактной части струи определяют как часть всей вертикальной струи:

Значение коэффициента a можно вычислить по эмпирической формуле Лобачева:

. (6.15)

Величины коэффициентов α приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3

S к , м
a	1,19	1,20	1,21	1,22	1,24	1,27	1,32	1,38	1,45	1,55	1,67	1,84
S в , м	9,5		14,5	17,2		23,0	26,5	30,5			47,0

Наклонная струя. Если при одном и том же напоре у насадка постепенно изменять угол наклона ствола, то конец компактной части струи будет описывать траекторию abc , которая называется огибающей кривой компактной струи , а наиболее удаленные капли струи - траекторию , называемую огибающей кривой раздробленной струи (рис. 6.6). Расстояния по прямой от насадка до граничных кривых соответственно называются радиусом действия компактной струи и радиусом действия раздробленной струи

Рис. 6.6. Наклонные струи

Расчет наклонных струй ведут по отношению к величинам и для вертикальных струй.

Огибающая кривая компактной струи abc мало отличается от дуги окружности, описанной радиусом, который для ручных стволов диаметром насадка не выше 25 мм можно принять равным т.е.

Для насадков больших диаметров, например для лафетных стволов, линия abc более вытянута вдоль горизонтальной оси. Минимальная длина компактных струй, ручных стволов с насадками 13, 16, 19, 22 и 25 мм требует создания напора перед насадком от 30 до 50 м.

Расстояние от насадка до огибающей кривой раздробленной струи (см. рис. 6.3) возрастает с уменьшением угла наклона к горизонту . Величину радиуса действия раздробленной струи определяют по формуле

Эмпирическая формула - формула, определенная из опытных (эмпирических) данных.

В экономике

Эмпирические формулы не выводятся теоретически и, как правило, не имеют особого смысла в научном понимании. Форму такой зависимости подбирает исследователь. Характерной особенностью таких формул, выражающих эмпирические закономерности, является наличие эмпирических коэффициентов - параметров эмпирической формулы, численные значения которых подбираются исследователем в целях наиболее точного соответствия результатов расчета эмпирическим данным.

В химии

Эмпирическая формула (простейшая формула) химического соединения - запись простейшего выражения относительного числа каждого типа атомов в нём; представляет собой линейную запись из символов химических элементов, сопровождающуюся подстрочными индексами, указывающими отношение элементов в соединении .

Эмпирическая формула не содержит информации ни о структуре, ни о изомерии, ни о числе атомов в молекуле. Эмпирическая (от греч. εμπειρια - опыт) означает, что определение элементного состава производится при помощи количественного анализа . Например, в случае гексана рациональная (линейная) формула, отражающая структуру соединения имеет вид CH 3 CH 2 CH 2 CH 2 CH 2 CH 3 , молекулярная (брутто-) формула, показывающая число атомов в молекуле - C 6 H 14 , в то время как эмпирическая формула дает только соотношение элементов C:H = 3:7 - C 3 H 7 .

Некоторые источники и авторы употребляют этот термин в значении истинной или рациональной формулы.

В физике

Эмпирической формулой называется математическое уравнение , полученное опытным путём, методом проб и ошибок или как приближённая формула из экспериментальных данных. Таким образом, на момент открытия оно не имеет известного теоретического обоснования. В частности, размерности используемых и вычисляемых в формуле величин могут не соответствовать друг другу (примером может служить размерность гравитационной постоянной, размерность которой следует из формулы, но не имеет логического обоснования). Другой характерной особенностью таких формул, выражающих эмпирические закономерности, является наличие эмпирических коэффициентов - специально подобранных параметров эмпирической формулы. Эмпирическая формула также может являться простым аналогом более сложного точного теоретического соотношения, либо, наоборот, усложненным аналогом приближенного теоретического соотношения. В большой степени понятия эмпирическая и феноменологическая формула пересекаются.

Эмпирические формулы широко распространены в прикладных исследованиях , также они появляются в быстро развивающихся отраслях науки. Во многих случаях они со временем заменяются точными формулами при накоплении достаточного количества знаний. Одним таким примером является

(эмпирический метод)

В практической работе педиатра достаточно часто возникает необходимость в быстрой приблизительной оценке антропометрических показателей. С этой целью используется метод эмпирических формул. Несмотря на относительную условность и неточность оценки, метод до сих пор не потерял своего значения благодаря простоте использования. К его недостаткам относятся большая погрешность, возрастающая при выраженных отклонениях показателей, а также отсутствие учета пола ребенка. Антропометрические показатели ребенка сопоставляются со средневозрастными величинами, вычисленными по следующим ориентировочным формулам.

Эмпирические формулы для детей старше 1-го года

Эмпирические формулы для расчета и оценки

Антропометрических показателей у детей старше 1-го года

(n – возраст в годах)

Рост старше 1-го года, см:

Рост ребенка в 8 лет составляет 130 см.

На каждый недостающий год до 8 вычитают по 7 см, то есть 130-7×(8-n);

(таким образом, до 8 лет ежегодный прирост составляет в среднем 7 см ).

На каждый год свыше 8 прибавляют по 5 см, то есть 130+5×(n-8);

(таким образом, после 8 лет ежегодный прирост составляет в среднем 5 см )

Масса тела, кг:

от 1 года до 11 лет

Масса тела в 5 лет составляет 19 кг.

На каждый недостающий год до 5 вычитают по 2 кг, то есть 19-2×(5-n);

(таким образом, до 5 лет ежегодная прибавка составляетв среднем 2 кг )

На каждый год свыше 5 прибавляют по 3 кг, то есть 19+3×(n-5);

(таким образом, после 5 лет ежегодная прибавка составляет в среднем 3 кг ).

от 12 до 16 лет

Масса тела определяется по формуле: 5×n-20 (после 11 лет ежегодная прибавка массы тела составляет в среднем 4-5 кг ).

Окружность головы, см

Окружность головы в 5 лет составляет 50 см.

На каждый год недостающий до 5 вычитают 1 см, то есть 50-1×(5-n);

(таким образом, до 5 лет ежегодный прирост составляет в среднем 1 см ).

На каждый год свыше 5 прибавляют по 0,6 см, то есть 50+0,6×(n-5);

(таким образом, после 5 лет ежегодный прирост составляет в среднем 0,6 см ).

Окружность груди, см

Окружность груди в 10 лет составляет 63 см.

На каждый недостающий год до 10 вычитают по 1,5 см, то есть 63-1,5×(10-n);

(таким образом, до 10 лет ежегодный прирост составляет в среднем 1,5 см ).

На каждый год свыше 10 прибавляют по 3 см, то есть 63+3×(n-10);

(таким образом, после 10 лет ежегодный прирост составляет в среднем 3 см ).

Оценка показателей

Каждый измеренный у ребенка показатель сравнивается со средневозрастным, рассчитанным по формулам. Далее определяется отклонение от расчетной величины. Для его оценки пользуются правилом возрастных интервалов.

Условно принято считать, что допустимое отклонение находится в пределах 1-го возрастного интервала (величина прироста (в см) или прибавки (в кг) за 1 год, за 6 месяцев или за 3 месяца соответственно интервалу возрастных групп). Такой показатель считается средним . Если отклонение находится в пределах от 1 до 2-х возрастных интервалов, показатель оценивается как «выше среднего» или «ниже среднего».

Если отклонение составляет от 2-х до 3-х возрастных интервалов, показатель оценивается как «высокий» или «низкий», в этой группе могут оказаться показатели как пограничные с нормой, так и патологические. Вследствие этого объективно оценить такой показатель методом эмпирических формул не представляется возможным. Для уточнения следует воспользоваться другими методами оценки (центильным или сигмальным).

Если отклонение выходит за пределы 3-х возрастных интервалов, показатель считается патологическим и тем более требует уточнения оценки.

Таким образом, при оценке антропометрических показателей методом эмпирических формул, также, как и при центильной оценке, выделяют 7 градаций оценок (показатель средний; выше, ниже среднего; высокий, низкий; патологический высокий, низкий).

Форма записи и оценка результатов антропометрических измерений

по эмпирическим формулам

По результатам оценки антропометрических показателей формулируется итоговое заключение . Основу итоговой оценки определяет рост (средний, выше, ниже среднего и т.д.). Далее определяется гармоничность физического развития (соответствие массы росту). Если рост и масса находятся в одной или соседних оценочных категориях, это свидетельствует о гармоничности развития; если в разных - о дисгармоничности. Отмечаются, если имеются, отклонения показателей окружности головы и груди.

Следует помнить, что при любых нарушениях роста (низкий, высокий) ориентировочный расчет долженствующей массы тела, окружности груди (зависимые признаки) проводят на соответствующий длине тела возраст. Кроме того, масса по эмпирическим формулам рассчитывается на возраст, а не на рост. Поэтому окончательное заключение о гармоничности развития можно сделать только после оценки массы по росту .

По результатам интегральной оценки выделяют 3 оценочные группы, определяющие врачебную тактику.

1. Основная группа – варинт нормы (отклонение показателей от средневозрастных в пределах 1 или 2-х возрастных интервалов).

2. Пограничная группа (отклонение находится в зоне от 2-х до 3-х возрастных интервалов). Оценка требует уточнения другими методами.

3. Патологическая (отклонение показателей превышает 3 возрастных интервала). Оценка требует уточнения другими методами, после чего принимается решение о врачебной тактике.

Примеры:

1. Возрастная группа 10 лет.

Заключение: физическое развитие среднее, т.к. рост средний; гармоничное, т.к. рост и масса находятся в соседних оценочных категориях. Оценочная группа - основная, вариант нормы.